初探极限符号表示形式之优劣

对于数列极限定义

¹，其中我们着重来看$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} a_{n} = a$，这是大多数教材通常采用的对极限现象的符号代表形式，为了进一步了解极限的性质及其计算极限就有必要建立起极限的四则运算法则。如下便是利用极限的lim符号表示形式对极限四则运算法则的表达（划红线的原因请看这里），²，因为这种符号代表形式难以提供什么证明上的便利，所以还得回到基本定义上来证明这些运算法则，但是我目前看到的证明都很复杂，尤其是如下所示的2和3的证明，

³，面对这些证明，我所认为的难处在于里面的等式变形及其不等式放缩，不容易看清楚作那些变形的方向是什么——为什么会想到那些变形？所以我只能将这些变换算看作是奇思妙想，说得不好听一点则曰之“奇技淫巧”， 私以为好的数学证明应当避免这些奇技淫巧，多遵循基本技巧和方法，若总是依仗一些奇思妙想难免让人对数学望而却步，读者也难以师法其中。如下便是我对可以理解掌握的、能从中吸取到有用经验的证明方法的寻求记录。

为了寻求更简单的证明要么基于现有极限定义，要么改变定义方式另辟蹊径。首先来看能否基于现有定义作出比2和3更简单的证明。对于证明2，最终要证明的形式是$\left| a_{n}b_{n} - ab \right| < \varepsilon$，而现有的是$\left| a_{n} - a \right| < \varepsilon_{1}$和$\left| b_{n} - b \right| < \varepsilon_{2}$，因为要求证的结果里有$ab$，为了产生这个结果我想到的与之相关的构造如下：

1. $(a_{n} - a) \times (b_{n} - b) = a_{n}b_{n} - a_{n}b - ab_{n} + ab$

2. $b \times (a_{n} - a) = a_{n}b - ab$

3. $a \times (b_{n} - b) = ab_{n} - ab$

为了凑出最终形式$\left| a_{n}b_{n} - ab \right|$，我的思路是用加减乘除运算对这三种构造结果进行运算拼凑，在可能的情况下进行适当地放缩以便完成证明。最终想到的是把三式相加就有最终的结果：

$$\left| a_{n}b_{n} - ab \right| = \left| \left( a_{n} - a \right) \times \left( b_{n} - b \right) + b \times \left( a_{n} - a \right) + a \times \left( b_{n} - b \right) \right| \leq \left| \left( a_{n} - a \right) \times \left( b_{n} - b \right) \right| + \left| b \times \left( a_{n} - a \right) \right| + \left| a \times \left( b_{n} - b \right) \right| < \varepsilon_{1}\varepsilon_{2} + |b|\varepsilon_{1} + |a|\varepsilon_{2}$$

因为$\varepsilon_{1}$和$\varepsilon_{2}$都是可以任意预先指定的正数，所以$\varepsilon_{1}\varepsilon_{2} + |b|\varepsilon_{1} + |a|\varepsilon_{2}$也可以小于任意预先指定的正数，故此就证明了$\left| a_{n}b_{n} - ab \right| < \varepsilon$。

对于证明3，因为$\frac{a_{n}}{b_{n}} = a_{n} \cdot \frac{1}{b_{n}}$，在证明了乘法法则的基础上只需要证明$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b}$，也就是证明$|\frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b}| < \varepsilon$就可以了，故此尝试

$$\left| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} \right| = \left| \frac{b - b_{n}}{b_{n}b} \right|$$

根据$\left| b_{n} - b \right| < \varepsilon_{2}$可以得到：

$$\left| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} \right| = \left| \frac{b - b_{n}}{b_{n}b} \right| = \frac{|b - b_{n}|}{|b_{n}| \times |b|} < \frac{\varepsilon_{2}}{|b_{n}| \times |b|}$$

因为$\frac{\varepsilon_{2}}{|b_{n}| \times |b|}$含有$b_{n}$这个可变量，最终我们实际上需要放缩到右边是一个常数的形式，所以便开始寻求对$b_{n}$相关的放缩。对于数列$|b_{n}|$，其极限是$|b|$，所以总有N使得满足n>N的一切$0 < |b| - \varepsilon_{3} < \left| b_{n} \right|$，令$\varepsilon_{4} = min(\{\varepsilon_{2},\ \varepsilon_{3}\})$，那么有

$$\left| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} \right| = \left| \frac{b - b_{n}}{b_{n}b} \right| = \frac{|b - b_{n}|}{|b_{n}| \times |b|} < \frac{\varepsilon_{4}}{|b_{n}| \times |b|} < \frac{\varepsilon_{4}}{(|b| - \varepsilon_{4}) \times |b|}$$

不难得出$\frac{\varepsilon_{4}}{(|b| - \varepsilon_{4}) \times |b|}$可以小于任意预先指定的正数，故此就证明了$\left| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} \right| < \varepsilon$。

在上面的证明中，虽然我把思路讲清楚了，但是其证明似乎还是不够简单，所以考虑换另外一种方式试试看——从改变极限的符号表示形式入手，这种方式启示于张景中先生的《从数学教育到教育数学》第七章，其起点并不是数列极限的定义，而是无穷小数列的定义：

⁴

在此定义的基础上再证明相关性质：

⁵，然后再给出无穷大数列的定义：

⁶，在此基础上再证明无穷大数列相关的性质，如：（1）无穷大数列的倒数是无穷小数列；（2）无穷大数列各项加上常数后的新数列仍然是无穷大数列。建立起这些定义及其性质之后就可以提出极限定义的另外一种表达形式⁷，不妨称其为基于无穷小数列的数列极限定义方式：对于数列 $\left\{ a_{n} \right\}$ ，如果有实数 $a$ 和无穷小列 $\left\{ \alpha_{n} \right\}$, 使得

$$a_{n} = a + \alpha_{n},$$

则称数列 $\left\{ a_{n} \right\}$ 以 $a$ 为极限。记作

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} a_{n} = a.$$

我认为这种定义的特点或优势在于（1）将要研究的数列的通项表达式用其极限值和一个无穷小数列表示了出来，也无形中（2）定义了一种极限lim符号的运算 $$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\left( a + \alpha_{n} \right) = a.$$

这两个特点为证明极限的四则运算法则带来了很大的便利，例如在证明乘法法则时就不会像上面任何一种形式那么复杂，因为$a_{n} = a + \alpha_{n}$，$b_{n} = b + \beta_{n}$，所以可以直接代入计算

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\left( a_{n} \cdot b_{n} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\left( (a + \alpha_{n}) \cdot (b + \beta_{n}) \right) = \lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\left( ab + a\beta_{n} + b\alpha_{n} + {\alpha_{n}\beta}_{n} \right)\mspace{2mu}$$

因为$a\beta_{n} + b\alpha_{n} + {\alpha_{n}\beta}_{n}$是一个无穷小数列，根据上述定义的lim符号运算$\lim_{n \rightarrow \infty}\left( a + \alpha_{n} \right) = a$可知

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\left( ab + a\beta_{n} + b\alpha_{n} + {\alpha_{n}\beta}_{n} \right) = ab$$

这就证明了乘法法则

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\left( a_{n} \cdot b_{n} \right) = ab = \lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} a_{n} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}b_{n}.$$

对于证明$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b}$，同样也是希望能凑出这种形式$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\frac{1}{b_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}(\frac{1}{b} + \gamma_{n})$，重点是在证明$\gamma_{n}$是一个无穷小数列，按照这种形式有

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\frac{1}{b_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}(\frac{1}{b} + \left( \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} \right)) = \lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}(\frac{1}{b} + \left( \frac{1}{b + \beta_{n}} - \frac{1}{b} \right))$$

不难证明$\frac{1}{b + \beta_{n}} - \frac{1}{b}$是一个无穷小数列，这就证明了$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu}\frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b}$。

这种证明方法之所以简单是因为首先数列的通项表达式被用极限值和无穷小的方式给出来了，这使得可以代入进行计算，而无形中定义的极限lim符号运算$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\left( a + \alpha_{n} \right) = a$又可以让计算最终摆脱lim符号。对于函数极限的四则运算法则的证明也可以采用类似的方式。至于这种定义形式能否在使用中比(ε, N)定义带来更多的便利则有待进一步实践观察。

从上面这种改变极限定义形式带来的极大便利让我想到的方法论是不要拘泥于一种固定的形式，当用一种形式解决问题出现困难时就要有改变基本形式或定义另辟蹊径的觉悟。最近练截拳道也领悟到招式动作不要太死板，不要拘泥于固定的套路，要灵活应对。希望能在后续的学习和生活中进一步领略这个道理。