洛必达法则的证明探讨

本文会解答几个洛必达法则证明过程中的问题，同时也力求提供可以理解掌握的、能从中吸取到有用经验的∞/∞型洛必达法则的证明方法。

0/0型洛必达法则¹（L’Hospital’s Rule: 0/0 case）：在区间(a, b)上，f(x)和g(x)都可导、g^′(x) ≠ 0、lim_{x → a⁺}f(x) = lim_{x → a⁺}g(x) = 0，如果$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}\left( x \right)} = L$，那么

$$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)} = L.$$

证明：先补充定义f(a)=g(a)=0，则有lim_{x → a⁺}f(x) = f(a) = 0、lim_{x → a⁺}g(x) = g(a) = 0，所以这个定义使得f(x)和g(x)在[a, b)上连续。取任意的x ∈ (a, b)，由于f(x)和g(x)在[a, x]上满足使用柯西中值定理的条件，所以有

$$\frac{f(x) - f(a)}{g\left( x \right) - g\left( a \right)} = \frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)}$$

因为f(a)=g(a)=0，所以

$$\frac{f(x)}{g\left( x \right)} = \frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)}$$

x → a⁺时，因为c在(a, x)上，所以c → a⁺，又因为$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}\left( x \right)} = L$，所以

$$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( c \right)}{g^{'}\left( c \right)} = \lim_{c \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( c \right)}{g^{'}\left( c \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)} = L.$$

至此0/0型洛必达法则得证。

说明：

1. 证明开头处补充定义f(a)=g(a)=0不会影响$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$吗？不会²！函数在x → a⁺时的极限和x=a处的值无关（与函数在x=a处近旁的值有关），改变函数在x=a处的值并不会影响函数在x → a⁺时的极限。为了更形象地理解这个特性，各位请随便定义下图中f(x) = sinx和g(x) =  − 0.5x于x=0处的值，然后再观察一下这种改变是否会影响到$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\text{sinx}}{- 0.5x}$？（$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\text{sinx}}{- 0.5x} = - 2$）。总之，f(x)和g(x)在a处是否有定义或取什么值并不影响$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$，因此0/0型洛必达法则的成立条件也就不要求f(x)和g(x)在a处连续了，上面的证明过程中也才可以补充定义f(a)=g(a)=0来进行证明。补充这个定义仅仅只是让我们可以在证明过程中使用柯西中值定理，它不会对$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$是否存在或是值是多少有影响，所以它并未构成0/0型洛必达法则的成立条件之一。

2. 用和上面类似的方法不难证明0/0型洛必达法则在x → a⁻时也成立，进而可得到在x → a时也成立。

3. 如果$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)}$仍然是0/0型，那么在确认f^′(x)和g^′(x)满足0/0型洛必达法则成立条件的情况下仍可得出$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{''}\left( x \right)}{g^{''}\left( x \right)}$，在需要的时候，这一过程可以再继续下去³。

∞/∞型洛必达法则⁴（L’Hospital’s Rule: ∞/∞ case）：在区间(a, b)上，f(x)和g(x)都可导、g^′(x) ≠ 0、lim_{x → a⁺}g(x) = ∞，如果$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}\left( x \right)} = L$，那么

$$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)} = L.$$

我看了三本国内较为优秀的数学分析教材上面对此的证明，皆感其证明之玄妙，尤其是里面的等式做出那些变形究竟是怎样想到的，很难从中看出头绪，即便是看完证明之后想要再现这些证明也感到很困难。现将这些证明转载于下，证明过程中我认为的难以构想之处已红框标示出，各位自行体会！

• 常庆哲、史济怀，《数学分析教程》上册（2003），p179

• 陈纪修、於崇华、金路《数学分析》上册，第二版，P125

• 华东师范大学数学系，《数学分析》上册，第四版，P132